Question

如图，已知动圆过定点且与轴相切，点关于圆心的对称点为，点的轨迹为

（1）求曲线的方程；

（2）一条直线经过点，且交曲线于、两点，点为直线上的动点．

①求证：不可能是钝角；

②是否存在这样的点，使得是正三角形？若存在，求点的坐标；否则，说明理由．

Answer

（1）；（2）①证明见解析；②存在点．

【解析】

试题分析：（1）设，因为点在圆上，且点关于圆心的对称点为，则，，则化简得：；（2）①研究角是否为钝角可考查角两边向量的乘积的正负，设直线，，由，得，则，，，，，则不可能是钝角；②假设存在这样的点，设的中点为，由①知，，则，则，而，由得，，所以存在点．

试题解析：（1）设，因为点在圆上，且点关于圆心的对称点为，

则，而，则，

化简得：，所以曲线的方程为．

①设直线，，

由，得，

则，．

，，

，

则不可能是钝角．

②假设存在这样的点，设的中点为，由①知，

，则，则，

则，

而，由得，，

所以存在点．

考点：1、曲线的方程；2、直线与圆锥曲线的位置关系；3、向量的数量积公式；4、弦长公式．

【思路点晴】本题主要考查的是求曲线的轨迹方程、直线与圆锥曲线的位置关系、向量的数量积、弦长公式，涉及存在型问题，属于难题．求曲线方程时设动点坐标后要寻求等量关系是解决问题的关键，本题根据圆的半径建立方程；当直线与圆锥曲线相交要设点联立，由根与系数关系写出待用，①本题利用数量积判断不是钝角，②利用弦长公式建立边长与中线之间关系求出存在使三角形为正三角形．