Question

如图，在多面体中，四边形是正方形，，为的中点．

（1）求证：平面；

（2）求证：平面；

（3）求四面体的体积．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）

【解析】

试题分析：（1）设AC与BD交于G，则G为AC的中点．连接EG，GH，通过证明四边形EFGH是平行四边形，证明FH∥平面EDB；（2）通过证明AC⊥EG，AC⊥BD，EG∩BD=G，满足直线与平面垂直的判定定理，即可证明AC⊥平面EDB；（3）求出四面体B-DEF的高与底面面积，即可求解四面体的体积．

试题解析：（1）证明：设与交于，则为的中点，连接，

由于为的中点，故，又，

∴四边形为平行四边形，

∴平面；

（2）证明：由四边形是正方形，有，又，

∴，而，∴平面，

∴，∴，

又，为的中点，∴，

∴平面，∴，又，∴，

又，

∴平面；

（3）【解析】
∵，∴平面，

∴为四面体的高，

又，∴，，

四面体的体积：．

考点：直线与平面平行的判定定理，直线与平面垂直的判定定理