Question

如图，抛物线与椭圆在第一角限的交点为，为坐标原点，为椭圆的右顶点，的面积为．

（1）求抛物线的方程；

（2）过点作直线交于、两点，求面积的最小值．

Answer

（1）；（2）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）通过△OAB的面积为，求出，然后求出抛物线的方程；（2）直线CD斜率不存在时，求出三角形的面积；直线CD斜率存在时，设直线CD方程为y=k（x-4），与抛物线联立，然后求出三角形的面积，推出最小值．

试题解析：（1）

（1）因为的面积为，所以代入椭圆方程得，抛物线的方程是；

（2）直线斜率不存在时，，

直线斜率存在时，设直线方程为，

带入抛物线，得

，

综上最小值为．

考点：抛物线的性质；直线与圆锥曲线的综合应用

【方法点睛】圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何方法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．