Question

已知椭圆的离心率为，其左顶点在圆上.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）直线交椭圆于，两点.

（i）若以弦为直径的圆过坐标原点，求实数的值；

（ii）设点关于轴的对称点为（点与点不重合)，且直线与轴交于点，试问的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）；（2）（i），（ii）,1．

【解析】

试题分析：（1）先利用左顶点在圆上求出值，再利用离心率进行求解；（2）联立直线和椭圆的方程，得到关于的一元二次方程，利用圆的直径所对圆周角为直角和平面向量的数量积为0进行求解，写出点关于轴的对称点为和直线的方程，求得点的坐标，利用三角形的面积公式求其面积，再利用基本不等式或二次函数判定是否存在最值．

试题解析：（Ⅰ）因为椭圆的左顶点在圆上，所以.

又离心率为，所以，所以,

所以,

所以椭圆的方程为

（Ⅱ）（i）设，.

直线与椭圆方程联立

化简并整理得，

∴，

∴，

.

因为，∴，即，

代入，得，解得， 所以

（ii）由题意，，

所以直线的方程为，

令，得，

所以点的坐标为．

解法一：的面积为

，

≤，

当且仅当，即时等号成立，

故的面积存在最大值，最大值为.

解法二：

令，，

则2，

当，即时，取得最大值，最大值为.

故的面积存在最大值，最大值为.

解法三：

，

点到直线的距离是.

所以的面积为.

以下解法同上.

考点：1.椭圆的标准方程；2.直线与椭圆的位置关系．