Question

已知函数（为自然对数的底数).

（Ⅰ）求函数的最大值；

（Ⅱ）设函数，存在实数，，使得 成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）0；（2）或．

【解析】

试题分析：（1）求导，利用导函数的符号判定函数的单调性，进而求得极值和最值；（2）将问题转化为存在，，使得成立，再讨论的取值研究函数的最大值和最小值，再通过解不等式进行求解．

试题解析：（Ⅰ）函数的定义域为，，

当时，，当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减．

因此，在处取得极大值，也是最大值，最大值为

（Ⅱ）由题意，存在，，使得成立，

.

因为，,

所以，

①当≥时，≤0，在上单调递减，

所以，即，适合题意.

②当≤时，，在上单调递增，

所以，即，适合题意.

③当时，若，，在上单调递减；

若，，在上单调递增；

所以，即， （*）

由（Ⅰ）知，函数在上单调递减，

故≤≤，而≤≤，所以不等式(*)无解.

综上所述，的取值范围为或.

考点：利用导数研究函数的单调性、极值和最值．

【易错点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值和最值以及不等式存在解的问题，属于难题；本题的第二问题的关键是将“存在实数，，使得成立”转化为“存在，，使得成立”，要注意是“存在性”而不是“任意性”.