Question

如图，在直三棱柱中，，，，，分别是，的中点.

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）求证：平面；

（Ⅲ）求三棱锥的体积.

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．

【解析】

试题分析：（1）先利用线面垂直得到线线垂直，再利用线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理进行证明；（2）利用三角形的中位线得到线线平行和线段，得到平行四边形，再由平行四边形的性质得到线线平行，再由线面平行的判定定理进行证明；（3）利用三棱锥的体积公式进行求解．

试题解析：（Ⅰ）证明：在三棱柱中，

底面，所以.

又因为，，

所以平面，

又平面，

所以平面平面

（Ⅱ）证明：取的中点，连接，.

因为，，分别是，，的中点，

所以，且，.

因为，且，所以，且，

所以四边形为平行四边形，所以.

又因为平面，平面，所以平面.

（Ⅲ）因为，，，所以.

所以三棱锥的体积

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考点：1.空间中垂直关系的转化；2.空间中平行关系的转化；3.三棱锥的体积．