Question

如图所示，已知⊙O₁和⊙O₂相交于A、B两点，过A点作⊙O₁的切线交⊙O₂于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O₁、⊙O₂于点D、E，DE与AC相交于点P

（1）求证：AD∥EC；

（2）若AD是⊙O₂的切线，且PA＝6，PC＝2，BD＝9，求AD的长．

Answer

（1）证明见解析，（2）12

【解析】

试题分析： （1）连接AB，根据弦切角等于所夹弧所对的圆周角可得,又据同弧上所对的圆周角相等可得

∠BAC＝∠E，由等量代换可得∠D＝∠E，由内错角相等两直线平行可得AD∥EC.

（2）由相交弦定理得可得的值，再由AD∥EC可得，就可求得的值，再由切割线定理可得AD2＝DB×DE，可得AD的长

试题解析：（1）证明 连接AB，∵AC是⊙O1的切线，∴∠BAC＝∠D

又∵∠BAC＝∠E，∴∠D＝∠E，∴AD∥EC.

（2）解 设BP＝x，PE＝y，∵PA＝6，PC＝2，∴xy＝12.①

∵AD∥EC，∴，∴②

由①②可得或 （舍去）．

∴DE＝9＋x＋y＝16，∵AD是⊙O2的切线．

∴AD2＝DB×DE＝9×16，∴AD＝12.

考点：证明两直线平行及求切线长.