Question

如图，在四棱锥S － ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA⊥底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA =AB=BC =2，AD =1．M是棱SB的中点．

（Ⅰ）求证：AM∥面SCD；

（Ⅱ）求面SCD与面SAB所成二面角的余弦值；

（Ⅲ）设点N是直线CD上的动点，MN与面SAB所成的角为，求sin的最大值

Answer

（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由已知条件中的垂直关系，建立以点A为原点，AD为轴；AB为轴AS为轴空间直角坐标系，写出A,B,C,D,S,M的坐标，得到的坐标表示，求出平面SCD的法向量是可得，从而.可得AM∥平面SCD.

（Ⅱ）将平面SCD与平面SAB所成二面角转化为两法向量夹角（或其补角），求出两平面的法向量，利用两向量的夹角的余弦公式求出即可

（Ⅲ）由题意设，则.由平面SAB的法向量为，得到的式子，利用二次函数的性质求出的最大值.

试题解析：（Ⅰ）以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则

， ，，，，

则

设平面SCD的法向量是则

即

令，则，于是.

，.

AM∥平面SCD

（Ⅱ）易知平面SAB的法向量为.设平面SCD与平面SAB所成的二面角为，

则，即.

平面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值为

（Ⅲ）设，则.

又，面SAB的法向量为，

所以，.

.

当，即时，

考点：线面平行，两个平面所成的角及线面角

【方法点睛】（1）利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.（2）证明证线线垂直，只需要证明直线的方向向量垂直；（3）把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;（4）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化.同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备.