Question

已知数列满足

（1）求数列的通项公式;

（2）设为数列的前项和,求证:

Answer

（1），（2）

【解析】

试题分析：（1）由，可得数列是等比数列，从而得等比数列 通项公式，也就可以得到数列的通项公式；

（2）先求出数列的通项公式，写出然后根据式子的特征，利用错位相减法求出数列的前项和,利用放缩法求出证明出 .

试题解析：（1）,

又∵,∴

∴数列是首项为2,公比为2的等比数列.

, ∴.

（2）∵

∴ ①

∴ ②

①-②,得

∴

∵，∴

又∵，∴，∴

∴

考点：求数列的通项公式及数列的前项和，利用放缩法证明不等式

【方法点睛】（1）数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，再由递推关系求数列的通项公式，常用方法有：一是求出数列的前几项，再归纳总结出数列的一个通项公式；二是将已知递推关系式整理、变形，变成等差数列或者等比数列，或用累加法，累乘法，迭代法求通项.（2）一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项的和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后做差求解；（3）利用不等式放缩时掌握好规律，怎样从条件证明出结论.