Question

定义在上的函数满足，．

（1）求函数的解析式；

（2）求函数的单调区间；

（3）如果、、满足，那么称比更靠近．当且时，试比较和哪个更靠近，并说明理由．

Answer

（1）（2）当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为（3）见解析

【解析】

试题分析：（1）先求出，当时，由的等式可得．又可得，就可得函数的解析式

（2）由的解析式可得函数的解析式，再对函数求导，对系数进行分类讨论，利用函数的单调性与导数的关系，求出函数的单调区间

（3）利用构造函数方法，分别作差进行比较，注意利用分类讨论的思想

试题解析：（1），所以，即．又，

所以，所以

（2），

①当时，，函数在R上单调递增

②当时，由得，

∴时，， 单调递减；时，

，单调递增

综上，当时，函数的单调递增区间为；当时，

函数的单调递增区间为，单调递减区间为．

（3）【解析】
设，

，在上为减函数，又，

当时，，当时，．

，，

在上为增函数，又，

时，，在上为增函数，

．

①当时，，

设，则，

在上为减函数，

，

，，，比更靠近．

②当时，，

设，则，，

在时为减函数，，

在时为减函数，，

，比更靠近．

综上：在时，比更靠近．

考点：利用导数求函数的解析式及导数与函数的单调性的关系.