Question

已知函数（，）．

（1）当时，讨论的奇偶性，并证明函数在上为单调递减；

（2）当时，是否存在实数和，使得函数的值域为，若存在，求出实数与的值，若不存在，说明理由．

Answer

（1）奇函数，证明见解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）判断奇偶性分为两步：一是定义域要关于原点对称，二是判断与的关系，若是，则原函数是偶函数，若是，则原函数是奇函数；对于单调性的判定只需要根据定义判定即可；（2）本题是存在性问题：先由已知条件可知要对参量分为和进行讨论，这样才能判定函数的单调性，进而利用已知的值域，假设存在实数和使得函数在区间上的值域为，从而求出相应满足条件的实数和．

试题解析：（1）的定义域为关于原点对称，

又，∴为奇函数

法1：当时，设，则

，

，又，，，

∴函数在上为减函数

法2：当时，设，令，

∴，所以，

∴函数在上为减函数

（2）令，即，

①当时，要使的值域为，则须，令，解得。所以。

故有

②当时，，则，所以不合。

综上所述，存在实数，当时，函数的值域为．

考点：1、函数的奇偶性和单调性；2、函数的值域．