Question

已知函数．

（1）已知f（x）的图象关于原点对称，求实数的值；

（2）若，已知常数满足：对任意恒成立，求实数的取值范围．

Answer

（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）函数的定义域是，函数图象关于原点对称，得函数是奇函数，即解出即可，需验证函数是奇函数；（2）此题是个恒成立问题，求取参量的取值范围，对此我们一般情况都是参变分离，化成，令，由于是恒成立问题，则有,只需要求取即可．

试题解析：（1）定义域为，又知函数为R上的奇函数，则a=

下面证明时是奇函数

对定义域R上的每一个x都成立，

∴为R上的奇函数．

∴存在实数，使函数为奇函数．

另【解析】
定义域为，又知函数为R上的奇函数，

对定义域R上的每一个x都成立．

∴

∴

=，

∴ ．

∴存在实数，使函数为奇函数．

（2）若，则，

，

由对恒成立，得，

∵当时，，

∴对恒成立，

易知，关于x的函数在上为增函数，令

在上为增，

∴．

考点：1、函数奇偶性；2、指数函数；3、求取函数最值的方法．

【方法点晴】在（1）中利用奇函数的性质，在利用的时候一定注意定义域，除此之外，还可以直接根据奇函数的定义：，进行代入，亦可求出答案；在（2）中的恒成立问题是个经典题型，对此我们分为如下几种类型：

已知在定义域上恒成立则有：

1、；

2、；

3、；

如果带有参量，例如本题，我们采用参变分离的方法进行转化，这种方法非常常见，请大家一定要掌握．