Question

设函数（，实数）.

（Ⅰ）讨论函数的单调性；

（Ⅱ）若在恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（Ⅰ）当时，在上单调递增；在上单调递减；当时，在上单调递增；在，上单调递减；当时，在上单调递增；在，上单调递减；（Ⅱ）．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）求导后，建立新函数，分、、讨论新函数与0的关系，求得函数的单调区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）分、求得函数的最值，从而求得的取值范围．

试题解析：（Ⅰ）

设

（1）当时，.当，可得；当，可得.

∴在上单调递增；在上单调递减.

（2）当时，图象开口向下，在上有两个零点和，

①当时，，此时当，无解；，可得或.

∴在，上单调递减，且函数在上不间断，即函数在上单调递减.

②当时，，此时当，可得；，可得或.

∴在上单调递增；在，上单调递减.

③当时，，此时当，可得；，可得或.

∴在上单调递增；在，上单调递减.

（Ⅱ）函数过点，由（Ⅰ）得时，在为减函数，

∴，符合题意.

当时，在递减，在上单调递增，∴，不符合题意.

∴的取值范围为.

考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式恒成立．