Question

如图已知，椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，过F₁的直线l与椭圆相交于A、B两点．

（Ⅰ）若∠AF₁F₂=60°，且，求椭圆的离心率；

（Ⅱ）若，求的最大值和最小值．

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）当直线l垂直于x时，取得最大值；当直线l与x轴重合时，取得最小值﹣1

【解析】

试题分析：（Ⅰ）因为在焦点三角形AF1F2中，，所以∠F1AF2=90°，又因为∠AF1F2=60°，所以的三边关系可以找到，根据三边关系，可求出含a，c的齐次式，进而求出离心率．

（II）若，则椭圆方程为两个，可以是焦点在x轴上，也可焦点在y轴上，分别写出方程，在与设出的直线l方程联立，找到横坐标之和与之积，用坐标表示，根据前面所求，得到含k的方程，再求出最值即可．

【解析】
（I）∵，∴AF1⊥AF2∵∠AF1F2=60°，∴F1F2=2AF1，

∴2a=AF1+AF2，2c=F1F2∴

（II）∵，∴c=1，点F1（﹣1，0），F2（1，0）．

①若AB垂直于x轴，则，

②若AB与x轴不垂直，设直线AB的斜率为k，

则直线AB的方程为 y=k（x+1）

由消去y得：（2k2+1）x2+4k2x+2k2﹣2=0∵△=8k2+8＞0，∴方程有两个不等的实数根．

设A（x1，y1），B（x2，y2）．∴，

∴

=（1+k2）（x1x2+x1+x2+1）

==

∵，∴

∴

综合①、②可得：．

所以当直线l垂直于x时，取得最大值；当直线l与x轴重合时，取得最小值﹣1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．