Question

已知f（x）=xlnx，g（x）=x³+ax²﹣x+2．

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）对任意x∈（0，+∞），2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求实数a的取值范围．

Answer

（1）见解析；（2）a的取值范围是[﹣2，+∞）．

【解析】

试题分析：（1）先求出其导函数，再让其导函数大于0对应区间为增区间，小于0对应区间为减区间即可．（注意是在定义域内找单调区间．）

（2）已知条件可以转化为a≥lnx﹣x﹣恒成立，对不等式右边构造函数，利用其导函数求出函数的最大值即可求实数a的取值范围．

【解析】
（1）f′（x）=lnx+1，（2分）

令f′（x）＜0得：0＜x＜，∴f（x）的单调递减区间是（0，）（4分）

令f'（x）＞0得：，∴f（x）的单调递增区间是（6分）

（2）g′（x）=3x2+2ax﹣1，由题意2xlnx≤3x2+2ax+1∵x＞0，

∴a≥lnx﹣x﹣恒成立 ①（9分）

设h（x）=lnx﹣﹣，则h′（x）=﹣=﹣

令h′（x）=0得：x=1，x=﹣（舍去）

当0＜x＜1时，h′（x）＞0；

当x＞1时，h'（x）＜0

∴当x=1时，h（x）有最大值﹣2（12分）

若①恒成立，则a≥﹣2，

即a的取值范围是[﹣2，+∞）．（13分）

考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．