Question

设S_n为数列{a_n}的前n项和，已知a₁≠0，2a_n﹣a₁=S₁•S_n，n∈N^*

（Ⅰ）求a₁，a₂，并求数列{a_n}的通项公式；

（Ⅱ）求数列{na_n}的前n项和．

Answer

（Ⅰ）a1=1，a2=2，an=2n﹣1；（Ⅱ）Tn=1+（n﹣1）2n．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）令n=1和2，代入所给的式子求得a1和a2，当n≥2时再令n=n﹣1得到2an﹣1﹣1=Sn﹣1，两个式子相减得an=2an﹣1，判断出此数列为等比数列，进而求出通项公式；

（Ⅱ）由（Ⅰ）求出nan=n•2n﹣1，再由错位相减法求出此数列的前n项和．

【解析】
（Ⅰ）令n=1，得2a1﹣a1=，即，

∵a1≠0，∴a1=1，

令n=2，得2a2﹣1=1•（1+a2），解得a2=2，

当n≥2时，由2an﹣1=Sn得，2an﹣1﹣1=Sn﹣1，

两式相减得2an﹣2an﹣1=an，即an=2an﹣1，

∴数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，

∴an=2n﹣1，即数列{an}的通项公式an=2n﹣1；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，nan=n•2n﹣1，设数列{nan}的前n项和为Tn，

则Tn=1+2×2+3×22+…+n×2n﹣1，①

2Tn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n，②

①﹣②得，﹣Tn=1+2+22+…+2n﹣1﹣n•2n

=2n﹣1﹣n•2n，

∴Tn=1+（n﹣1）2n．

考点：等差数列与等比数列的综合；数列的求和．