Question

过双曲线的右焦点F作实轴所在直线的垂线，交双曲线于A，B两点，设双曲线的左顶点M，若点M在以AB为直径的圆的内部，则此双曲线的离心率e的取值范围为（  ）

A．    B．    C．（2，+∞）    D．（1，2）

Answer

C

【解析】

试题分析：设双曲线方程为﹣=1，作出图形如图，由左顶点M在以AB为直径的圆的内部，得|MF|＜|AF|，将其转化为关于a、b、c的式子，再结合平方关系和离心率的公式，化简整理得e2﹣e﹣2＞0，解之即可得到此双曲线的离心率e的取值范围．

【解析】
设双曲线方程为﹣=1，a＞b＞0

则直线AB方程为：x=c，其中c=

因此，设A（c，y0），B（c，﹣y0），

∴﹣=1，解之得y0=，得|AF|=，

∵双曲线的左焦点M（﹣a，0）在以AB为直径的圆内部

∴|MF|＜|AF|，即a+c＜，

将b2=c2﹣a2，并化简整理，得2a2+ac﹣c2＜0

两边都除以a2，整理得e2﹣e﹣2＞0，解之得e＞2（舍负）

故选：C

考点：双曲线的简单性质．