Question

在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x²﹣6x+1与坐标轴的交点都在圆心为C的圆上．

（1）求圆C的方程；

（2）若圆C与直线x﹣y+a=0交于A，B两点，且CA⊥CB，求a的值．

Answer

（1）（x﹣3）2+（y﹣1）2=9；（2）a=1或﹣5．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）求出与y轴，x轴的交点坐标，可以看出圆心在x=3直线上，可设C的圆心为（3，t），利用条件求出方程；

（Ⅱ）根据直线与圆的关系，可得AB=3，利用点到直线的距离公式可得，求出a的值．

（Ⅰ）【解析】
曲线y=x2﹣6x+1与y轴的交点为（0，1），…（1分）

与x轴的交点为，，…（3分）

∴可设C的圆心为（3，t），则有，解得t=1，

∴圆C的半径为，

∴圆C的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=9…（6分）

（Ⅱ）CA⊥CB，

∴AB=3，

∴C到AB的距离为，

∴

∴a=1或﹣5．…（12分）

考点：二次函数的性质．