Question

设点M是等腰直角三角形ABC的斜边BA的中点，P是直线BA上任意一点，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，求证：

（1）ME=MF；

（2）ME⊥MF．

Answer

见解析

【解析】

试题分析：（1）以等腰直角三角形的直角顶点C为坐标原点O，以OA为单位长，以直线OA．OB分别为x轴．y轴建立平面直角坐标系，由此能证明ME=MF．

（2）分别求出ME2+MF2=，，由此能证明ME⊥MF．

证明：（1）如图，以等腰直角三角形的直角顶点C为坐标原点O，

以OA为单位长，以直线OA．OB分别为x轴．y轴建立平面直角坐标系，

则A（1，0），B（0，1），…（2分）

设P（x0，y0），则有x0+y0=1，

∵PE⊥OA，PF⊥OB，∴E（x0，0），F（0，y0），，，

∵，∴ME=MF．…（7分）

（2）∵ME2+MF2=（）2+++（﹣y0）2=，

，

∴ME2+MF2=EF2，∴ME⊥MF．…（12分）

考点：空间中直线与直线之间的位置关系．