Question

如图，在三棱锥E﹣ABC中，平面EAB⊥平面ABC，三角形EAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=，O，M分别为AB、EA中点．

（1）求证：EB∥平面MOC；

（2）求证：平面MOC⊥平面EAB；

（3）求三棱锥E﹣ABC的体积．

Answer

（1）见解析；（2）见解析；（3）．

【解析】

试题分析：（1）由中位线定理可得OM∥BE，故而EB∥平面MOC；

（2）由等腰三角形三线合一可得OC⊥AB，由平面EAB⊥平面ABC可得OC⊥平面EAB，故而平面MOC⊥平面EAB；

（3）连结OE，则OE为棱锥的高，利用等边三角形的性质求出OE，代入体积计算．

证明：（1）证明：∵O，M分别为AB，EA的中点，∴OM∥BE，

又∵EB⊂平面MOC，OM⊄平面MOC，

∴EB∥平面MOC．

（2）∵AC=BC，O 为AB中点，∴OC⊥AB，

又∵平面EAB⊥平面ABC，平面EAB∩平面ABC=AB，

∴OC⊥平面EAB，又∵OC⊂平面MOC，

∴平面MOC⊥平面 EAB．

（3）连结OE，则OE⊥AB，

又∵平面EAB⊥平面ABC，平面EAB∩平面ABC=AB，OE⊂平面EAB，

∴OE⊥平面ABC．

∵AC⊥BC，AC=BC=，∴AB=2，

∵三角形EAB为等边三角形，∴OE=．

∴三棱锥E﹣ABC的体积V=•EO==．

考点：平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．