Question

在正三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，若AB₁⊥BC₁，则下列关于直线A₁C和AB₁，BC₁的关系的判断正确的为（  ）

A．A₁C和AB₁，BC₁都垂直   

B．A₁C和AB₁垂直，和BC₁不垂直

C．A₁C和AB₁，BC₁都不垂直   

D．A₁C和AB₁不垂直，和BC₁垂直

Answer

【解析】

试题分析：设D为BC的中点，连结AD、B1D，设E为AB的中点，连结CE、A1E，由射影定理、三垂线定理、三垂线逆定理能推导出A1C和AB1，BC1都垂直．

【解析】
设D为BC的中点，连结AD、B1D，设E为AB的中点，连结CE、A1E，

∵△ABC是正三角形，∴AD⊥BC，

由正三棱柱的性质可知，平面ABC⊥平面BB1C1C，

又平面ABC∩平面BB1C1C=BC，∴AD⊥平面BB1C1C，

∴B1D是AB1在平面BB1C1C上的射影，

同理，A1E是A1C在平面AA1B1B上的射影，

∵AB1⊥BC1，由三垂线逆定理可知，B1D⊥BC1，

∵长方形AA1B1B≌长方形BB1C1，∴A1E⊥AB1，由三垂线定理可知，AB1⊥A1C；

取AC中点F，连结BF、C1F，

∵△ABC是等边三角形，∴BF⊥AC，∵AA1⊥平面ABC，∴BF⊥AA1，

∵AA1∩AC=A，∴BF⊥平面ACC1A1，∵A1C⊂平面ACC1A1，∴BF⊥A1C，

∵长方形AA1B1B≌长方形BB1C1≌长方形AA1C1C，∴A1C⊥C1F，由三垂线定理可知，BC1⊥A1C．

∴A1C和AB1，BC1都垂直．

故选：A．

考点：空间中直线与平面之间的位置关系．