Question

如图，点分别是椭圆 的左、右焦点．点是椭圆上一点，点是直线与椭圆的另一交点，且满足轴，．

（1）求椭圆的离心率；

（2）若的周长为，求椭圆的标准方程；

（3）若的面积为，求椭圆的标准方程．

Answer

（1）（2）（3）

【解析】

试题分析：（1）通过求解直角三角形得到A的坐标，代入椭圆方程整理，结合隐含条件求得椭圆C的离心率e；（2）通过椭圆定义结合三角形的周长及隐含条件求得答案；（3）由（1）得到a与c，b与c的关系，设直线的方程为，代入化简整理，求得B的坐标，再由点到直线的距离公式结合三角形面积求得答案

试题解析：（1）解法1：在中，

．

解法2：中，

则 ，代入并利用 化简整理得

，即，

，，．

（2）由椭圆定义知，

∴的周长为，∴则，

故椭圆的标准方程为．

（3）解法1：由（1）知则，

于是椭圆方程可化为，即，

设直线的方程为，代入化简整理得

，或，

则点的横坐标为，∴点到直线的距离为，

∴的面积为解得，

故椭圆的标准方程为．

解法2：设，则，

在中由余弦定理得：，

即，

化简整理得，

∴ 又∵轴，，

∴点到直线的距离为，

∴的面积为解得，

故椭圆的标准方程为．

考点：椭圆方程及性质