Question

已知两点A（－2,0）和B（2,0），直线AM、BM相交于点M，且这两条直线的斜率之积为．

（1）求点M的轨迹方程；

（2）记点M的轨迹为曲线C，曲线C上在第一象限的点P的横坐标为1，直线PE、PF与圆（x－1）²＋y²＝r²（0＜r＜）相切于点E、F，又PE、PF与曲线C的另一交点分别为Q、R．求△OQR的面积的最大值（其中点O为坐标原点）．

Answer

（1） （x≠±2；（2）

【解析】

试题分析：（1）设点M（x，y），由题意可得，利用斜率计算公式即可得出．化简即可．（2）把x=1代入曲线C的方程，可得点．由于圆（x－1）2＋y2＝r2的圆心为（1，0），利用对称性可知直线PE与直线PF的斜率互为相反数．设直线PE的方程为，与椭圆的方程联立可得坐标．进而确定直线RQ的斜率为，把直线RQ的方程代入椭圆方程，消去y整理得．利用弦长公式可得|RQ|．再利用点到直线的距离公式可得：原点O到直线RQ的距离为d．利用和基本不等式即可得出

试题解析：（1）设点M（x，y），因为kAMkBM＝－，

所以，

整理得点M所在的曲线的方程为 （x≠±2）．

（2） 由题意可得点P，

因为圆（x－1）2＋y2＝r2的圆心为（1,0），所以直线PE与直线PF的斜率互为相反数．

设直线PE的方程为y＝k（x－1）＋，与椭圆方程联立消去y，得：（4k2＋3）x2＋（12k－8k2）x＋（4k2－12k－3）＝0，

由于x＝1是方程的一个解，所以方程的另一解为xQ＝，

同理xR＝． 故直线RQ的斜率为

kRQ＝＝ ＝＝．

把直线RQ的方程y＝x＋b代入椭圆方程，消去y整理得x2＋bx＋b2－3＝0，

所以|RQ|＝·

＝，

原点O到直线RQ的距离为d＝，

所以S△ORQ＝··＝≤

考点：1．直线与圆锥曲线的关系；2．轨迹方程