Question

正△ABC的边长为2，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC的中点（如图（1））．现将△ABC沿CD翻折成直二面角ADCB（如图（2））．在图（2）中：

（1）求证：AB∥平面DEF；

（2）在线段BC上是否存在一点P,使AP⊥DE？证明你的结论；

（3）求二面角E­DF­C的余弦值．

Answer

（1）详见解析（2） 在线段BC上存在点P，使AP⊥DE．（3）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由E、F分别是AC、BC的中点，得EF∥AB，由此能证明AB∥平面DEF；（Ⅱ）以点D为坐标原点，以直线DB、DC、DA分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系．利用向量法能在线段BC上存在点P，使AP⊥DE；（Ⅲ）分别求出平面CDF的法向量和平面EDF的法向量，利用同向量法能求出二面角E-DF-C的平面角的余弦值

试题解析：（1）证明：在△ABC中，因为E、F分别是AC、BC的中点，

所以EF∥AB．

又AB⊄平面DEF，EF⊂平面DEF，

所以AB∥平面DEF．

（2）以点D为坐标原点，以直线DB、DC、DA分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（图略）．则A（0,0,1），B（1,0,0），C（0，，0），E（0，，），F（，，0），＝（1,0，－1），＝（－1，，0），＝（0，，），＝（，，0）．

设＝λ，则＝＋＝（1－λ，λ，－1），

注意到AP⊥DE⇔·＝0⇔λ＝⇔＝，

所以在线段BC上存在点P，使AP⊥DE．

（3）平面CDF的一个法向量＝（0,0,1），设平面EDF的法向量为n＝（x，y，z），

则，即，取n＝（3，－，3），

cos〈，n〉＝＝，

所以二面角E­DF­C的余弦值为．

考点：1．与二面角有关的立体几何综合题；2．直线与平面平行的判定