Question

选修4—4：坐标系与参数方程

极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，已知曲线的参数方程为为参数），M为曲线C上任一点，过点M作轴的垂线段MN，垂足为N，MN中点P的轨迹方程为．

（1）求曲线的参数方程；

（2）已知曲线上的两点 ，求面积的最小值及此时的值．

Answer

（1）（为参数）；（2），或．

【解析】

试题分析：（1）根据曲线的参数方程，结合是的中点，求出点的轨迹方程，即曲线的参数方程；（2）根据曲线的参数方程得出是椭圆，且椭圆的两点与构成直角三角形，利用极坐标的意义求出面积的表达式，再利用基本不等式求出面积的最大值与对应的值．

试题解析：（1）设

∵轴于点，∴

∵为的中点，∴点轨迹的参数方程为为参数）

（2）的普通方程为，化为极坐标方程为

∵在上，∴ ，

解得，

当且仅当时取“=”，即，

∵， ∴或

考点：参数方程与普通方程的互化．