Question

已知分别是椭圆的左右焦点，是椭圆的上顶点，的延长线交椭圆于点，过点垂直于轴的直线交椭圆于点．

（1）若点C坐标为，且，求椭圆的方程；

（2）若， 求椭圆的离心率．

Answer

（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）根据椭圆的方程与几何性质，建立方程组，即可求得的值；（2）求出的坐标，利用的关系，解方程求得点的坐标，建立之间的关系式，即可求出离心率的值．

试题解析：（1）∵， ∴ ①

∵点在椭圆上， ∴ ②

由①②解得，故所求椭圆方程为

（2）已知，设，∵轴，∴，

则，，

∵，∴ ①

∵在椭圆上，∴ ② 由①②解得

∵在第四象限，∴③

又∵三点共线，∴∥， 故，④

将③代入④得，整理得，即，

则，故

考点：椭圆的方程、几何性质及直线与椭圆的位置关系．

【方法点晴】本题主要考查了椭圆的方程、几何性质及直线与椭圆的位置关系的综合应用，要熟练掌握求解椭圆方程的基本方法——待定系数法，牢记椭圆中三个基本量之间的固定关系，本题中两问都要用到这一关系，平面几何中的垂直关系通常利用向量的数量积转化为坐标的关系，本题中通过解方程组求得点的坐标，为后面建立之间的关系提供保证，这跟通常“设而不解”的做法区别所在．