Question

如图，在四棱锥中，为菱形，平面，，是棱上的动点，面积的最小值是3．

（1）求证：；

（2）求四棱锥的体积．

Answer

（1）证明见解析；（2）．

【解析】

试题分析：连接，设与相交于点，由已知在四棱锥中平面，四边形是菱形，易得，，由线面垂直的判定定理可以得平面，再由线面垂直的性质定理即可得到；（2）连接，由（1）的结论可知平面平面，所以，结合已知中，是上的任意一点，面积的最小值是，我们可以求得的值，将的值及底面四边形的面积求出后，代入棱锥的体积公式，即可得解．

试题解析：（1）证明：∵ABCD是菱形，∴

∵平面， ∴

又

∴平面，平面， ∴

（2）【解析】
连接∵且平面，∴

又∵且为公共边，则≌，∴，则…6分

∵， ∴

当面积的最小值是3时，有最小值1

∵当时，取最小值，∴，

由 ，得，又

故

考点：直线与平面的垂直关系，棱柱、棱锥、棱台的体积．