Question

已知函数．

（1）证明：；

（2）当时，，求的取值范围．

Answer

（1）证明见解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）由于，要求证，故只需证明分母即可，设函数，对求导，判断函数的单调性，必有最小值大于零，要证不等式的右边，需要证明函数的最大值为即可，对求导，判断单调性，找出最值点求出最大值，得证；（2）结合（1）的结论，讨论的符号，当时，，而与矛盾，当时，若时，同样与矛盾，当时，分母，，构造新函数，讨论的情况，在每种情况下判断是否大于，综合以上各种情况，写出符合题意的的取值范围．

试题解析：（1）∵，∴，令，由=0解得，

0

0

↘

极小值1

↗

∴， 故

（2）①若，则时，，不等式不成立；

②若，则当时，，不等式成立；

③若，则等价于

设，则

若，则当时，，单调递增，；

若，则当时，

，单调递减，，不等式不恒成立。

综上，的取值范围是

考点：利用导数研究函数的单调性，导数在求函数的最值中的应用．

【方法点晴】本题考查了导数的运算及利用导数研究函数的单调性、最值等函数中的基本题型，考查学生分析问题及利用所学知识解决问题的能力，对数学思想的考查也非常丰富，两问都涉及到了转化与化归的数学思想，第二问还用到了分类讨论，思维量、运算量大，属于难题，解答过程中，时刻注意把要解决的复杂分式结构的函数转化为简单的整式结构，也就会构造新函数，解决起来就方便的多，体现了化繁为简的解题原则．