Question

已知函数 ．

（1）求的单调区间；

（2）若在上恒成立，求所有实数的值；

（3）证明： ．

Answer

（1）当时，减区间为，当时，递增区间为，递减区间为；（2）；（3）证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）求导得：，讨论的正负，当时，，当时，由得，由得，分别写出单调区间即可；（2）因为在上恒成立，所以只需 即可，当时，在上为减区间，而，所以不符合题意，当时，在上递增，在上递减， ，依题意有，而，且，在上递减，在上递增，，故；（3）由（2）知，当时，在上恒成立，即在上恒成立，当且仅当时等号成立，令，则有，即，整理得：，当时，分别有，，，…，，累加得：，所以不等式成立．

试题解析：（1），

当时，，

∴减区间为

当时，由得，

由得

∴递增区间为，递减区间为．

（2）由（1）知：当时，在上为减区间，而

∴在区间上不可能恒成立；

当时，在上递增，在上递减，

，令，

依题意有，而，且

∴在上递减，在上递增，

∴，故．

（3）由（2）知，当时，在上恒成立，

即在上恒成立，

当且仅当时等号成立．

令，则有，

即，

整理得．

当时，

分别有，，，…，，

叠加得，

即得证．

考点：1、利用导数研究函数单调性；2、利用导数研究函数极值最值；3、不等式的恒成立；4、利用函数性质构造不等式．

【思路点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数单调性，函数最值的求法以及恒成立问题，利用函数的性质构造不等式证明不等式问题，涉及到分类讨论思想及构造不等式，属于难题．本题通过导数的正负分析，求得函数的单调区间，通过对函数极值的研究解决最值问题，进而研究恒成立问题，通过在上恒成立，构造不等式，即，从而证明不等式成立，本题对学生能力要求较高．