Question

已知函数．

（1）若，求曲线在处切线的斜率；

（2）求的单调区间；

（3）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围．

Answer

（1）；（2）当时，的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；（3）．

【解析】

试题分析：（1）根据导数的几何意义知，曲线在处切线的斜率就是该点处的导数，；（2）因为，所以需要对分类讨论，当时，显然，当时，由，得，分析在区间上，，在区间上，从而写出函数的单调区间；（3）根据题意分析，只需，由（2）知，当时，函数无最大值，不合题意，当时，的极大值即为最大值，，又，所以，解得．

试题解析：（1）由已知，

．

故曲线在处切线的斜率为

（2）．

①当时，由于，故，

所以，的单调递增区间为．

②当时，由，得．

在区间上，，在区间上，

所以，函数的单调递增区间为，

单调递减区间为．

（3）由已知，转化为

由（2）知，当时，在上单调递增，值域为，故不符合题意．

（或者举出反例：存在，故不符合题意．）

当时，在上单调递增，在上单调递减，

故的极大值即为最大值，

，

所以，

解得．

考点：1、导数的几何意义；2、利用导数研究函数的单调性；3、分类讨论；4、利用导数研究最值问题．

【思路点晴】本题主要考查的是函数图象的切线与导数的关系，以及利用函数的导数研究函数的单调性函数的极值最值问题，涉及到分类讨论思想及存在型问题，属于难题．本题通过求切点处的导数得到切线斜率，通过进行分类讨论判定导数的正负，从而求出函数的单调区间，在设计存在性及任意性问题时，要考虑函数的最值．