Question

如图，在平面直角坐标系xoy中，点A（0，3），直线l:y=2x-4，设圆C的半径为1，圆心在l上．

（1）若圆心C也在直线y=x-1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；

（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．

Answer

（1）或；（2）．

【解析】

试题分析：（1）将两直线方程联立求交点即为圆心．分析可知过点与圆相切的直线斜率存在，则可设其方程为，则圆心到此直线的距离等于半径，则可求得的值．（2）由题意可设圆心为，可得圆的标准方程为，根据由两点间距离公式可得点的轨迹方程，可知点的轨迹为圆．因为点又在圆上，所以两圆应有公共点，由两圆的位置关系可知两圆心距大于等于两半径差的绝对值，小于等于两半径的和．即可求得的范围．

试题解析：解:（1）由得圆心为，∵圆的半径为

∴圆的方程为:

显然切线的斜率一定存在，设所求圆的切线方程为，即

∴∴∴∴或者

∴所求圆的切线方程为: 或

（2）解:∵圆的圆心在直线上，所以，设圆心为

则圆的方程为:

又∵∴设为则整理得: 设为圆

∴点应该既在圆上又在圆上 即:圆和圆有交点

∴

由得 ，由得

综上所述，的取值范围为:

考点：1直线与圆相切；2两圆的位置关系．

【方法点睛】本题主要考查直线与圆相切和两圆的位置关系问题，难度一般．直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径．圆半径，圆半径，当两圆内含时；两圆内切时；两圆相交时；两圆外切时；两圆外离时．