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如图,在三棱柱ABC ­A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1=AC...

如图,在三棱柱ABC ­A1B1C1中,侧棱垂直于底面,ABBC,AA1=AC=2,BC=1,E,F分别是A1C1,BC的中点.

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(1)求证:平面ABE平面B1BCC1

(2)求证:C1F∥平面ABE;

(3)求三棱锥E­ABC的体积.

 

(1)详见解析;(2)详见解析;(3). 【解析】 试题分析:(1)根据侧棱垂直底面可得,又,根据线面垂直的判定定理可证得平面,再由面面垂直的判定定理可证得平面平面.(2)取中点,连结.易证得为平行四边形,从而可得,由线面平行的判定定理可证得平面.(3)因为三棱柱为直棱柱,所以直棱柱的侧棱长即为三棱锥的顶点到面的距离.由棱锥的体积公式即可求得其体积. 试题解析:(1)在三棱柱中,底面,因为面所以, 又因为,且,所以平面, 因为平面, 所以平面平面. (2)取中点,连结, 因为分别是、的中点,所以,且, 因为,且,所以,且, 所以四边形为平行四边形,所以, 又因为平面,平面, 所以平面. (3)因为,,,所以, 所以三棱锥的体积为: 考点:1线面平行;2线面垂直,面面垂直;3棱锥的体积. 【方法点晴】本题主要考查的是线面平行,线面垂直,面面垂直,属于中档题.证明线面平行的关键是证明线线平行,证明线线平行常用的方法是中位线,平行四边形,平行线分线段成比例逆定理,平行公理等.证明线面垂直的关键是证明线线垂直,证明线线垂直常用的方法是线面垂直得线线垂直,等腰三角形底边三线合一,勾股定理等.  
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