Question

（2015秋•晋中期末）已知函数f（x）=x²﹣1，g（x）=a|x﹣1|．

（1）若关于x的方程|f（x）|=g（x）只有一个实数解，求实数a的取值范围；

（2）若当x∈R时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer

（1）a＜0．（2）a≤﹣2．

【解析】

试题分析：（1）将方程变形，利用x=1已是该方程的根，从而欲原方程只有一解，即要求方程|x+1|=a有且仅有一个等于1的解或无解，从而可求实数a的取值范围；

（2）将不等式分离参数，确定函数的值域，即可求得实数a的取值范围．

【解析】
（1）方程|f（x）|=g（x），即|x2﹣1|=a|x﹣1|，变形得|x﹣1|（|x+1|﹣a）=0，

显然，x=1已是该方程的根，从而欲使原方程只有一解，即要求方程|x+1|=a有且仅有一个等于1的解或无解，

∴a＜0．

（2）当x∈R时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，即（x2﹣1）≥a|x﹣1|（*）对x∈R恒成立，

①当x=1时，（*）显然成立，此时a∈R；

②当x≠1时，（*）可变形为a≤，

令φ（x）==

因为当x＞1时，φ（x）＞2，当x＜1时，φ（x）＞﹣2，所以φ（x）＞﹣2，故此时a≤﹣2．

综合①②，得所求实数a的取值范围是a≤﹣2．

考点：函数恒成立问题；函数的零点．