Question

（2015•兴安盟一模）如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直线OB于E、D，连接EC、CD．

（1）求证：直线AB是⊙O的切线；

（2）若tan∠CED=，⊙O的半径为3，求OA的长．

Answer

（1）见解析；（2）5

【解析】

试题分析：（1）要想证AB是⊙O的切线，只要连接OC，求证∠ACO=90°即可；

（2）先由三角形判定定理可知，△BCD∽△BEC，得BD与BC的比例关系，最后由切割线定理列出方程求出OA的长．

【解析】
（1）如图，连接OC，

∵OA=OB，CA=CB，

∴OC⊥AB．

∴AB是⊙O的切线；

（2）∵BC是圆O切线，且BE是圆O割线，

∴BC2=BD•BE，

∵tan∠CED=，∴．

∵△BCD∽△BEC，∴，

设BD=x，BC=2x．又BC2=BD•BE，∴（2x）2=x•（x+6），

解得x1=0，x2=2，∵BD=x＞0，∴BD=2，∴OA=OB=BD+OD=3+2=5．

考点：圆的切线的性质定理的证明；直线与圆的位置关系；矩阵与矩阵的乘法的意义；简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程．