Question

（2015秋•晋中期末）已知直角坐标系中动点P（1+cosα，sinα）参数α∈[0，2π]，在以原点为极点，x轴正半轴为极轴所建立的极坐标系中，动点Q（ρ，θ）在曲线C：﹣cosθ=上

（1）在直角坐标系中，求点P的轨迹E的方程和曲线C的方程

（2）若动点P的轨迹E和曲线C有两个公共点，求实数a的取值范围．

Answer

（1）ax﹣y+a=0（a≠0）．（2）（﹣，0）∪（0，）．

【解析】

试题分析：（1）设点P的坐标为（x，y），消去参数α，得（x﹣1）2+y2=1能求出点P的轨迹E的方程；由ρsinθ=y，ρcosθ=x，能求出曲线C的方程．

（2）由已知得直线与圆相交，圆心（1，0）到直线ax﹣y+a=0，（a≠0）的距离小于半径1，由此能求出实数a的取值范围．

【解析】
（1）设点P的坐标为（x，y），则有，α∈[0，2π），

消去参数α，得（x﹣1）2+y2=1为点P的轨迹E的方程，

由曲线C：，得ρsinθ﹣aρcosθ=a，且a≠0，

由ρsinθ=y，ρcosθ=x，得曲线C的方程为：ax﹣y+a=0（a≠0）．

（2）曲线C的方程为：ax﹣y+a=0，（a≠0），

即y=a（x+1），a≠0，

表示过点（﹣1，0），斜率为a的直线，

动点P的轨迹E是以（1，0）为圆心，1为半径的圆，

∵′动点P的轨迹E和曲线C有两个公共点，

∴直线与圆相交，∴圆心（1，0）到直线ax﹣y+a=0，（a≠0）的距离小于半径1，

即d=＜1，解得﹣或0＜a＜．

∴实数a的取值范围是（﹣，0）∪（0，）．

考点：简单曲线的极坐标方程．