Question

如图，点O为坐标原点，直线l经过抛物线C：y²=4x的焦点F．

（Ⅰ）若点O到直线l的距离为，求直线l的方程；

（Ⅱ）设点A是直线l与抛物线C在第一象限的交点．点B是以点F为圆心，|FA|为半径的圆与x轴负半轴的交点．试判断直线AB与抛物线C的位置关系，并给出证明．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）直线AB与抛物线相切，见解析

【解析】

试题分析：法一：（Ⅰ）抛物线的焦点F（1，0），当直线l的斜率不存在时，即x=1不符合题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=k（x﹣1），所以，由此能求出直线l的方程．

（Ⅱ）直线AB与抛物线相切．设A（x0，y0），则．因为|BF|=|AF|=x0+1，所以B（﹣x0，0），由此能够证明直线AB与抛物线相切．

法二：（Ⅰ）同解法一．

（Ⅱ）直线AB与抛物线相切，设A（x0，y0），则．设圆的方程为：由此能够证明直线AB与抛物线相切．

解法一：（Ⅰ）抛物线的焦点F（1，0），…（1分）

当直线l的斜率不存在时，即x=1不符合题意．…（2分）

当直线l的斜率存在时，

设直线l的方程为：y=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k=0．…（3分）

所以，，解得：．…（5分）

故直线l的方程为：，即．…（6分）

（Ⅱ）直线AB与抛物线相切，证明如下：…（7分）

（法一）：设A（x0，y0），则．…（8分）

因为|BF|=|AF|=x0+1，所以B（﹣x0，0）．…（9分）

所以直线AB的方程为：，

整理得：…（1）

把方程（1）代入y2=4x得：，…（10分）

，

所以直线AB与抛物线相切．…（12分）

解法二：（Ⅰ）同解法一．

（Ⅱ）直线AB与抛物线相切，证明如下：…（7分）

设A（x0，y0），则．…（8分）

设圆的方程为：，…（9分）

当y=0时，得x=1±（x0+1），

因为点B在x轴负半轴，所以B（﹣x0，0）．…（9分）

所以直线AB的方程为，

整理得：…（1）

把方程（1）代入y2=4x得：，…（10分）

，

所以直线AB与抛物线相切．…（12分）

考点：直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程．