Question

如图，已知三棱锥A﹣BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形．

（1）求证：DM∥平面APC；

（2）求证：平面ABC⊥平面APC；

（3）若BC=4，AB=20，求三棱锥D﹣BCM的体积．

Answer

（1）、（2）见解析（3）

【解析】

试题分析：（1）要证DM∥平面APC，只需证明MD∥AP（因为AP⊂面APC）即可．

（2）在平面ABC内直线AP⊥BC，BC⊥AC，即可证明BC⊥面APC，从而证得平面ABC⊥平面APC；

（3）因为BC=4，AB=20，求出三棱锥的高，即可求三棱锥D﹣BCM的体积．

证明：（I）由已知得，MD是△ABP的中位线

∴MD∥AP∵MD⊄面APC，AP⊂面APC

∴MD∥面APC；

（II）∵△PMB为正三角形，D为PB的中点

∴MD⊥PB，∴AP⊥PB又∵AP⊥PC，PB∩PC=P

∴AP⊥面PBC（6分）∵BC⊂面PBC∴AP⊥BC

又∵BC⊥AC，AC∩AP=A∴BC⊥面APC，

∵BC⊂面ABC∴平面ABC⊥平面APC；

（III）由题意可知，三棱锥A﹣BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形．

MD⊥面PBC，BC=4，AB=20，MB=10，DM=5，PB=10，PC==2，

∴MD是三棱锥D﹣BCM的高，S△BCD=×=2，

∴．

考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．