Question

对称轴为坐标轴的椭圆与的焦点F₁（﹣，0），F₂（，0），P为椭圆上任意一点，满足|PF₁|+|PF₂|=4．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设不过原点O的直线l：y=kx+m与椭圆交于P，Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围．

Answer

（Ⅰ）+y2=1；（Ⅱ）（0，1）．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由题意可得c=，即a2﹣b2=3，再由椭圆的定义可得a=2，b=1，进而得到椭圆方程；

（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2）．由题意可设直线l的方程为：y=kx+m（m≠0）．与椭圆的方程联立可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0．由△＞0，可得1+4k2＞m2．得到根与系数关系．利用直线OP、PQ、OQ的斜率成等比数列，可得•=k2，化为4k2=1．同时得到m2＜2．利用弦长公式可得|PQ|=•═2，利用点到直线的距离公式可得：原点O到直线PQ的距离d=．利用S△OPQ=•|PQ|•d=，再利用基本不等式即可得出．

【解析】
（Ⅰ）设椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），

由题意可得c=，即a2﹣b2=3，

又|PF1|+|PF2|=4，即有

2a=4，即a=2，b=1，

可得椭圆方程为+y2=1；

（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2）．

由题意直线l的方程为：y=kx+m（m≠0，±1）．

联立，

化为（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，

△=64k2m2﹣4（4m2﹣4）（1+4k2）＞0，化为1+4k2＞m2，

∴x1+x2=﹣，x1x2=，

∵直线OP、PQ、OQ的斜率成等比数列，

∴•=k2，

∴（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2，

化为mk（x1+x2）+m2=0，

∴+m=0，

∴4k2=1，∴m2＜2．

∴|PQ|=•=•

=2，

原点O到直线PQ的距离d=．

∴S△OPQ=•|PQ|•d=≤=1，由于m2≠1，因此不取等号．

∴S△OPQ的取值范围是（0，1）．

考点：椭圆的简单性质．