Question

已知函数f（x）=lg（3+x）+lg（3﹣x）．

（1）判断f（x）的奇偶性并加以证明；

（2）判断f（x）的单调性（不需要证明）；

（3）解关于m的不等式．f（m）﹣f（m+1）＜0．

Answer

（1）函数f（x）为偶函数．（2）f（x）在（﹣3，0）上是增函数，在（0，3）上是减函数；（3）﹣3＜m＜﹣．

【解析】

试题分析：（1）根据函数奇偶性的定义进行判断即可．

（2）根据复合函数单调性的关系进行判断．

（3）根据函数奇偶性和单调性的关系，将不等式进行转化即可．

【解析】
（1）由，得，即﹣3＜x＜3，

∴函数f（x）的定义域为（﹣3，3）．

函数f（x）的定义域关于原点对称，

且f（﹣x）=lg（3﹣x）+lg（3+x）=f（x），

∴函数f（x）为偶函数．

（2）f（x）=lg（9﹣x2），y=lgu为增函数，u=9﹣x2在（﹣3，0）上是增函数，在（0，3）上是减函数，

∴f（x）在（﹣3，0）上是增函数，在（0，3）上是减函数；

（3）由f（m）﹣f（m+1）＜0得f（m）＜f（m+1），

∵f（x）是定义域为（﹣3，3）上的偶函数，

∴不等式等价为f（|m|）＜f（|m+1|），

由，

即

∴﹣3＜m＜﹣．

考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．