Question

已知三个点A（2，1）、B（3，2）、D（﹣1，4）．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标，并求矩形ABCD两对角线所夹锐角的余弦值．

Answer

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．

【解析】

试题分析：（I）运用平面向量的数量积得出=1×（﹣3）+1×3=0，求解即可．

（II）．，坐标得出点C的坐标为（0，5）．再运用数量积求解得出cosθ==＞0．

解（Ⅰ）证明：A（2，1），B（3，2），D（﹣1，4）．

∴=（1，1），=（﹣3，3）．

又∵=1×（﹣3）+1×3=0，

∴．

（Ⅱ）∵，若四边形ABCD为矩形，则．

设C点的坐标为（x，y），则有（1，1）=（x+1，y﹣4），

∴

即

∴点C的坐标为（0，5）．

由于=（﹣2，4），=（﹣4，2），

∴=（﹣2）×（﹣4）+4×2=16，=2．

设对角线AC与BD的夹角为θ，则cosθ==＞0．

故矩形ABCD两条对角线所夹锐角的余弦值为．

考点：平面向量数量积的运算．