Question

已知{a_n}是等差数列，其前n项和为S_n，{b_n}是等比数列，且a₁=b₁=2，a₄+b₄=27，s₄-b₄=10．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）记T_n=a_nb₁+a_n-1b₂+…+a₁b_n，n∈N^*，证明：T_n+12=-2a_n+10b_n（n∈N^*）．

Answer

（1）直接设出首项和公差，根据条件求出首项和公差，即可求出通项．
（2）先写出Tn的表达式；方法一：借助于错位相减求和；
方法二：用数学归纳法证明其成立．
【解析】
（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，
由a1=b1=2，得a4=2+3d，b4=2q3，s4=8+6d，
由条件a4+b4=27，s4-b4=10，
得方程组，解得，
故an=3n-1，bn=2n，n∈N*．
（2）证明：方法一，由（1）得，Tn=2an+22an-1+23an-2+…+2na1；   ①；
2Tn=22an+23an-1+…+2na2+2n+1a1；     ②；
由②-①得，Tn=-2（3n-1）+3×22+3×23+…+3×2n+2n+2
=+2n+2-6n+2
=10×2n-6n-10；
而-2an+10bn-12=-2（3n-1）+10×2n-12=10×2n-6n-10；
故Tn+12=-2an+10bn（n∈N*）．
方法二：数学归纳法，
③当n=1时，T1+12=a1b1+12=16，-2a1+10b1=16，故等式成立，
④假设当n=k时等式成立，即Tk+12=-2ak+10bk，
则当n=k+1时有，
Tk+1=ak+1b1+akb2+ak-1b3+…+a1bk+1
=ak+1b1+q（akb1+ak-1b2+…+a1bk）
=ak+1b1+qTk
=ak+1b1+q（-2ak+10bk-12）
=2ak+1-4（ak+1-3）+10bk+1-24
=-2ak+1+10bk+1-12．
即Tk+1+12=-2ak+1+10bk+1，因此n=k+1时等式成立．
③④对任意的n∈N*，Tn+12=-2an+10bn成立．