Question

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的倍，其上一点到右焦点的最短距离为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l：y=kx+b与圆O：相切，且交椭圆C于A、B两点，求当△AOB的面积最大时直线l的方程．

Answer

（1）设椭圆右焦点（c，0），则，由此能够求出椭圆C的标准方程．
（2）由Qy=kx+b与圆相切，知．由消y得（1+3k2）x2+6kbx+3（b2-1）=0．再由根的判别式和根与系数的关系结合题设条件进行求解．
【解析】
（1）设椭圆右焦点（c，0）
则
由（1）得a2=3b2代a2-b2=c2得c2=2b2
代（2）得∴
∴
（2）Qy=kx+b与圆相切
∴
∴
由消y得（1+3k2）x2+6kbx+3（b2-1）=0
又△=12（3k2-b2+1）（3）
，
∴|AB|2=（1+k2）（x1-x2）2
=
==
=
=
当k=0时，|AB|2=3，
当k≠0时，
（当时“=”成立）
∴|AB|max=2
∴
此时b2=1且（3）式△＞0
∴