Question

设函数f（x）=a-，
（1）求证：不论a为何实数f（x）总为单调函数，并说明是何种单调函数；
（2）试确定a的值，使f（x）的图象能关于原点对称并求此时f（x）的值域．

Answer

（1）由f（x）=a-，知f（x）的定义域为R，利用定义法能够证明不论a为何实数f（x）总为单调递增函数．
（2）由f（x）的图象关于原点对称，知f（x）是奇函数，所以a-=-a+，解得f（x）=1-，由此能求出f（x）的值域．
（1）证明：∵f（x）=a-，
∴f（x）的定义域为R，
在R上任取x1，x2，令x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=a--a+
=，
∵x1＜x2，∴，（1+）（1+）＞0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
故不论a为何实数f（x）总为单调递增函数．
（2）【解析】
∵f（x）的图象关于原点对称，
∴f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x），
∴a-=-a+，解得a=1．
∴f（x）=1-，
∵2x+1＞1，∴0＜＜2，
∴-2，
∴-1＜f（x）＜1，
∴f（x）的值域为（-1，1）．