Question

已知二次函数f（x）满足条件f（0）=1，且有f（x+1）-f（x）=2x．在区间[-1，2]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+m的图象下方，则实数m的取值范围为    ．

Answer

设f（x）=ax2+bx+c，根据条件求出系数a、b和c的值，再由题意转化为x2-x+1＜2x+m在[-1，2]恒成立，再分离出m，进一步转化求y=x2-3x+1在[-1，2]上的最大．
【解析】
设二次函数f（x）=ax2+bx+c （a≠0），
∵f（0）=1，∴c=1，即f（x）=ax2+bx+1，
∵f（x+1）-f（x）=2x，
∴a（x+1）2+b（x+1）+1-（ax2+bx+1）=2x，
即2ax+a+b=2x，∴，解得，
∴f（x）=x2-x+1，
∵在区间[-1，2]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+m的图象下方，
∴x2-x+1＜2x+m，即m＞x2-3x+1，x∈[-1，2]，
∵y=x2-3x+1的对称轴x=，
∴当x=-1时，此函数有最大值为5，
∴m＞5．
故答案为：m＞5．