Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）=（a为实常数）
（1）当a=1时，求函数φ（x）=f（x）-g（x）在x∈[4，+∞）上的最小值；
（2）若方程e^2f（x）=g（x）（其中e=2.71828…）在区间[，1]上有解，求实数a的取值范围；
（3）证明：（参考数据：ln2≈0.6931）

Answer

（1）由已知中函数f（x）=lnx，g（x）=，我们易求出当a=1时，函数φ（x）的解析式及其导函数的解析式，利用导数法，判断出函数的单调性，即可得到当x=4时，φ（x）取最小值；
（2）方程e2f（x）=g（x）在区间[，1]上有解，可转化为方程a=在区间[，1]上有解，构造函数h（x）=，x∈[，1]，利用导数法求出函数的值域，即可得到实数a的取值范围，
（3）令ak=2f（2k+1）-f（k）-f（k+1），利用放缩法及裂项法，我们可以求出≥，构造函数F（x）=lnx-x+2（x≥4）利用导数法，可以判断出函数的单调性，进而判断出＜2n+1，综合讨论结果，即可得到结论．
【解析】
（1）当a=1时，φ（x）=f（x）-g（x）=lnx+-，
则φ′（x）=-=，
∵在区间（0，1]上，φ′（x）≤0，在区间[1，+∞），φ′（x）≥0，
∴φ（x）在区间（0，1]上单调递减，在区间[1，+∞）上单调递增．
∴在x∈[4，+∞）上，当x=4时，φ（x）的最小值为φ（4）=ln4-．（4分）
（2）∵方程e2f（x）=g（x）在区间[，1]上有解
V即e2lnx=在区间[，1]上有解
即a=在区间[，1]上有解
令h（x）=，x∈[，1]，
∴h′（x）=，
∵在区间[，]上，h′（x）≥0，在区间[，1]上，h′（x）≤0，
∴h（x）在区间[，]上单调递增，在区间[，1]上单调递减，
又h（1）＜h（）．
∴h（1）≤h（x）≤h（）
即≤h（x）≤
故a∈[，]…（9分）
（3）设ak=2f（2k+1）-f（k）-f（k+1）=2ln（2k+1）-lnk-ln（k+1）=ln，
由（1）知，φ（x）的最小值为φ（4）=ln4-＞0，
∴lnx＞（x≥4）
又∵＞4，
∴ak＞=＞=．
∴＞=≥=
构造函数F（x）=lnx-x+2（x≥4），则F′（x）=，
∴当x≥4时，F′（x）＜0．
∴F（x）在[4，+∞）上单调递减，
即F（x）≤F（4）=ln4-2=2（ln2-1）＜0．
∴当x＞4时，lnx＜x-2．  
∴ak=ln＜4+--2，
即ak＜2+-．
∴＜2n+1-＜2n+1．
故．（14分）