Question

已知，f₁（x）=f′（x），f₂（x）=f′₁（x），…，f_n（x）=f′_n-1（x）（n∈N^*）．
（Ⅰ）请写出f_n（x）的表达式（不需证明）；
（Ⅱ）设f_n（x）的极小值点为P_n（x_n，y_n），求y_n；
（Ⅲ）设，g_n（x）的最大值为a，f_n（x）的最小值为b，试求a-b的最小值．

Answer

（1）根据导数写出f1（x），f2（x）归纳出fn（x）；
（2）由（1）知fn（x）的表达式，要求极值点，就要借助导函数，令导函数为0，解出xn，验证是极值后代入解析式即可求出yn．
（3）类比求fn（x）的极小值的过程求出gn（x）的极大值，进而求出最值即可．
【解析】
（Ⅰ）（n∈N*）．…（4分）
（Ⅱ）∵，
∴当x＞-（n+1）时，；当x＜-（n+1）时，．
∴当x=-（n+1）时，fn（x）取得极小值，
即（n∈N*）．…（8分）
（Ⅲ） 解法一：∵，所以．…（9分）
又，
∴a-b=（n-3）2+e-（n+1），
令h（x）=（x-3）2+e-（x+1）（x≥0），则h'（x）=2（x-3）-e-（x+1）．…（10分）
∵h'（x）在[0，+∞）单调递增，∴h'（x）≥h'（0）=-6-e-1，
∵h'（3）=-e-4＜0，h'（4）=2-e-5＞0，
∴存在x∈（3，4）使得h'（x）=0．…（12分）
∵h'（x）在[0，+∞）单调递增，
∴当0≤x＜x时，h'（x）＜0；当x＞x时，h'（x）＞0，
即h（x）在[x，+∞）单调递增，在[0，x）单调递减，
∴（h（x））min=h（x），
又∵h（3）=e-4，h（4）=1+e-5，h（4）＞h（3），
∴当n=3时，a-b取得最小值e-4．…（14分）
解法二：∵，所以．…（9分）
又，
∴a-b=（n-3）2+e-（n+1），
令，
则，…（10分）
当n≥3时，，又因为n≥3，所以2n-5≥1，，，所以，所以cn+1＞cn．…（12分）
又，c1＞c2＞c3，
∴当n=3时，a-b取得最小值e-4．…（14分）