Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AA₁=3，D为C₁B的中点，P为AB边上的动点．
（Ⅰ）当点P为AB的中点时，证明DP∥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）若AP=3PB，求三棱锥B-CDP的体积．

Answer

（I）连接DP、AC1，在△ABC1中根据中位线定理，得DP∥AC1，结合线面平行的判定定理，得DP∥平面ACC1A1；
（II）过点D作DE⊥BC于E，结合DE∥CC1且DE=CC1，得三棱锥B-CDP的高DE=，结合△BCP的面积和锥体体积公式，可算出三棱锥B-CDP的体积．
【解析】
（I）连接DP、AC1，
∵△ABC1中，P、D分别为AB、BC1中点
∴DP∥AC1，
∵AC1⊆平面ACC1A1，DP⊈平面ACC1A1，
∴DP∥平面ACC1A1
（II）由AP=3PB，得PB=AB=
过点D作DE⊥BC于E，则DE∥CC1且DE=CC1
又∵CC1⊥平面ABC，∴DE⊥平面BCP
∵CC1=3，∴DE=
∵S△BCP=×2××sin60°=
∴三棱锥B-CDP的体积v=××=