A.利用不等式|x+m|+|x+n|≥|m-n|即可求出a的取值范围;
B.连接OC,利用切线的性质及直接三角形中的边角关系即可求出半径OC;
C.先将直线的极坐标方程化为普通方程,再利用点到直线的距离公式即可.
【解析】
A.∵关于x的不等式|x+1|+|x-3|≥a恒成立⇔(|x+1|+|x-3|)min≥a,而|x+1|+|x-3|≥|x+1-(x-3)|=4,∴实数a的取值范围是a≤4,
故答案为a≤4;
B.由题意作出图形:
连接OC,∵PC是圆O的切线,∴OC⊥PC,∠OCP=90°.
∵∠CAO=30°,OC=OA,∴∠COP=60°,∴∠CPO=30°.
在Rt△OCP中,OC=tan30°=2;∴直径AB=4,
故答案为4;
C.∵直线的极坐标方程为ρsin(θ+)=,则展开为,化为普通方程x+y-1=0,
则极点即原点到这条直线的距离d=,
故答案为.