Question

设函数f（x）=a^x-x（a＞0，a≠1）
（1）若a=e（e是自然对数的底数），求f（x）的单调区间和极值；
（2）若函数y=f（|x|）在全体实数R上恰有4个零点，求实数a的取值范围．

Answer

（1）将a=e代入求出函数解析式，可得导函数的解析式，进而求出f′（x）＞0时和f′（x）＜0时自变量的范围，得到f（x）的单调区间，同时根据极值的定义，求出极值；
（2）函数y=f（|x|）是偶函数，要使它在全体实数R上恰有4个零点，只须y=f（x）在（0，+∞）上有2个零点，即在（0，+∞）有2解，构造函数，利用导数法，可求出满足条件的实数a的取值范围．
【解析】
（1）f（x）=ex-x，则f′（x）=ex-1…（2分）
当f′（x）＞0时，解得x＞0，f（x）在[0，+∞）上单调递增，
当f′（x）＜0时，解得x＜0，f（x）在（-∞，0]上单调递减．…（2分）
所以x=0是极小值点，f极小值=f（0）=1…（2分）
（2）函数y=f（|x|）是偶函数，要使它在全体实数R上恰有4个零点，只须y=f（x）在（0，+∞）上有2个零点，…（2分）
要使方程ax=x在（0，+∞）有2解，则有在（0，+∞）有2解，…（2分）
设，则…（1分）
当x＞e时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，且
当0＜x≤e时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，且…（4分）
根据图象可知，
∴…（2分）