Question

已知S_n是数列{a_n}的前n项和，a_n＞0，，n∈N^*，
（1）求证：{a_n}是等差数列；
（2）若数列{b_n}满足b₁=2，，求数列{b_n}的通项公式b_n．

Answer

（1）由，知a1=1，，，故（an+an-1）（an-an-1-1）=0，由此能够证明{an}是等差数列．
（2）由（1）知an=n，，由此利用累加法能够求出数列{bn}的通项公式bn．
（本小题满分15分）
【解析】
（1）∵，n∈N*，
∴当n=1时，，
解得a1=1或a1=0（舍去）…（2分）
当n≥2时，…①
…②
①-②得：…（2分）
∴（an+an-1）（an-an-1-1）=0，
∵an＞0，∴an-an-1=1．
所以{an}是等差数列．…（3分）
（2）由（1）知an=1+（n-1）×1=n…（1分）
，
b2-b1=2，
，
…
，
以上各式相加得：…（6分）
∴…（1分）